第三章 圆锥曲线的方程 尖子生培优练 -高二上学期数学人教A版选修一（含解析）.docx

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第三章圆锥曲线的方程尖子生培优练--2021---2022人教A（2019）选择性必修第一册
一、单选题
1．抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆
3．双曲线焦点到渐近线距离为，则此双曲线虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
4．双曲线的离心率为，过双曲线右焦点作一条直线垂直于双曲线的一条渐近线，垂足为，设为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
5．如图，“天宫三号”的运行轨道是以地心（地球的中心）为其中一个焦点的椭圆．已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的距离）距离地面千米，并且，，在同一条直线上，地球的半径为千米，则“天宫三号”运行的轨道的短轴长为（ ）千米
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
7．已知椭圆：，点，是长轴的两个端点，若椭圆上存在点，使得
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，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，2） C． D．
二、多选题
9．椭圆，下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．长轴长为4 C．短轴长为1 D．焦距为
10．设抛物线C：的焦点为F，点M在C上，，若以MF为直径的圆过点，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知分别是双曲线的左､右焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以线段为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为或 D．的面积为
12．设，分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的取值范围是
C．到渐近线的距离随着的增大而减小 D．当时，的实轴长是虚轴长的3倍
三、填空题
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13．已知椭圆的焦点为，，且经过，则椭圆的方程为______．
14．已知双曲线的两个焦点分别为、，且两条渐近线互相垂直，若上一点满足，则的余弦值为_______________________．
15．已知椭圆C：，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的离心率为________．
16．椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________．
四、解答题
17．椭圆的左右焦点分別为，其中，O为原点．椭圆上任意一点到距离之和为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P（0，2）的斜率为2的直线l交椭圆于A、B两点，求△OAB的面积．
18．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
19．已知动点与平面上点，的距离之和等于．
（1）试求动点的轨迹方程；
（2）设直线与曲线交于、两点，当时，求直线的方程．
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点
，点在双曲线上.
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：·＝0；
21．动圆与圆相内切，且恒过点.
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
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（2）已知垂直于轴的直线交于、两点，垂直于轴的直线交于、两点，与的交点为，且，证明：存在两定点、，使得为定值，求出、的坐标.
参考答案
1．A
【详解】
抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离5，
则根据抛物线定义可得，解得，
所以抛物线方程为.
故选：A.
2．C
【详解】
因为，故动点的轨迹是线段.
故选：C.
3．B
【详解】
设双曲线方程为，
一条渐近线方程为：，焦点，
所以焦点到该渐近线的距离为，
当双曲线焦点在y轴上时，依然成立，
所以，故虚轴长为4
故选：B
4．C
解：因为双曲线的离心率为，所以，解得，，所以双曲线方程为，所以渐近线方程为，右焦点，
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不妨取，即，则到渐近线的距离，所以
故选：C
5．D
【详解】
由题设条件可得，，
设椭圆的半长轴长为，半焦距为，则，，
故短半轴长为，
所以短轴长为，
故选：D.
6．B
【详解】
解：依题意