2024年高考数学一轮复习（人教版） 第10章　必刷大题20　概率与统计.docx

必刷大题20　概率与统计
1．已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分．
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的分布列和均值．
解　若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
E(X)＝3×＝.
2．(2023·毕节模拟)某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频率分布直方图如图所示，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值，并根据频率分布直方图估计该市全体高中学生的测试分数的中位数和平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值作代表，结果保留一位小数)；
(2)用频率代替概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低于90分的人数为X，求X的分布列及均值．
解　(1)∵测试分数位于[50,60)的频数为4，频率为0.01×10＝0.1，
∴抽取学生数为＝40，
∴测试分数位于[80,90)的人数为40－(4＋10＋14＋4)＝8，
∴a＝÷10＝0.02.
由题意知，测试分数位于[60,70)的频率为＝0.25，位于[70,80)的频率为＝0.35，
设由频率分布直方图估计分数的中位数为t，
则有(t－70)×0.035＝0.5－0.1－0.25，解得t≈74.3，
估计平均数为55×0.1＋65×0.25＋75×0.35＋85×0.2＋95×0.1＝74.5.
(2)由题意知，测试分数不低于90分的频率为0.1，人数为4，
∴X的所有可能取值为0,1,2,3,4，X～B(4,0.1)，
即P(X＝k)＝C(0.1)k(0.9)4－k(k＝0,1,2,3,4)，
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.656 1
0.291 6
0.048 6
0.003 6
0.000 1
E(X)＝4×0.1＝0.4.
3．根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为p(0<p<1)．现有4例疑似病例，分别对其取样、检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性．若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验．现有以下三种方案：
方案一：4个样本逐个化验；
方案二：4个样本混合在一起化验；
方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验．
由于检测能力不足，化验次