高一数学（人教A版）选修2-1第三章 空间向量与立体几何 测试题（含详解）.zip

第三章测试
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a与b共线，则(　　)
A．x＝1，y＝1　　　　　 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析　由a∥b知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝，x＝，y＝－.
答案　C
2．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则x的值是(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析　a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5.
答案　B
3．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为(　　)
A．3 B．2
C．1 D.
解析　∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2.
答案　B
4．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的(　　)
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，而a·b＝|a||b|.
∴cos〈a，b〉＝1，∴〈a，b〉＝0.
∴a与b共线．反之，若a与b共线，也可能a·b＝－|a|·|b|，因此应选B.
答案　B
5．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)
A.b＋c B.c－b
C.b－c D.b＋c
解析　如图，＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝c＋b.
答案　A
6．已知a，b，c是空间的一个基底，设p＝a＋b，q＝a－b，则下列向量中可以与p，q一起构成空间的另一个基底的是(　　)
A．a B．b
C．c D．以上都不对
解析　∵a，b，c不共面，
∴a＋b，a－b，c不共面，∴p，q，c可构成空间的一个基底．
答案　C
7．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　　)
A．2 B．3
C. D.
解析　BC的中点D的坐标为(2,1,4)，
∴＝(－1，－2,2)．
∴||＝＝3.
答案　B
8．与向量a＝(2,3,6)共线的单位向量是(　　)
A．(，，)
B．(－，－，－)
C．(，－，－)和(－，，)
D．(，，)和(－，－，－)
解析　|a|＝＝7，∴与a共线的单位向量是±(2,3,6)，故应选D.
答案　D
9．已知向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y为(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
解析　由|a|＝6，a⊥b，
得解得或
∴x＋y＝1，或－3.
答案　A
10．已知a＝(x,2,0)，b＝(3,2－x，x2)，且a与b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是(　　)
A．x>4 B．x<－4
C．0<x<4 D．－4<x<0.
解析　∵〈a，b〉为钝角，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉<0，即3x＋2(2－x)<0，∴x<－4.
答案　B
11．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析　设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，
∵＝(－5，－1,1)，＝(－4，－2，－1)，
由n·＝0及n·＝0，得
令z＝1，
得x＝，y＝－，∴n＝(，－，1)．
又＝(－2，－1,3)，设AD与平面ABC所成的角为θ，则
sinθ＝＝＝，
∴θ＝30°.
答案　A
12．已知二面角α－l－β的大小为50°，P为空间中任意一点，则过点P且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析　过点P分别作平面α，β的垂线l1和l2，则l1与l2所成的角为130°或50°，问题转化为过点P与直线l1，l2成65°角的直线有几条，与l1，l2共面的有一条，不共面的有2条．因此，共有3条．
答案　B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)
13．已知{i，j，k}为单位正交基底，且a＝－i＋j＋3k，b＝2i－3j－